В Зелёном зале Фундаментальной библиотеки МГУ имени М.В. Ломоносова состоялось очередное заседание научного семинара «Время, хаос и математические проблемы», организуемого Институтом математических исследований сложных систем (ИМИСС МГУ) под руководством ректора МГУ, академика РАН Виктора Антоновича Садовничего.
С докладом «О спектральной теории операторов Шредингера с PT-симметричными потенциалами» выступил академик РАН Искандер Асанович Тайманов — заведующий кафедрой высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ и ведущий специалист в области геометрии, интегрируемых систем и спектральной теории операторов.
Заседание транслировалось на экспертной площадке Московского университета «Диалог о настоящем и будущем», продолжая традицию открытых научных дискуссий, в которых фундаментальная математика рассматривается как ключевой язык описания сложных физических и инженерных систем.
PT-симметрия и неэрмитовая квантовая механика — контекст доклада
В центре доклада — класс одномерных операторов Шредингера с комплекснозначными потенциалами, обладающими PT-симметрией, то есть инвариантностью при одновременном обращении пространства (P — parity) и времени (T — time). Такие операторы изучаются с начала 1990-х годов в рамках неэрмитовой квантовой механики и показывают нетривиальное явление: при определённых условиях их спектр остаётся полностью действительным, несмотря на отсутствие стандартной эрмитовости гамильтониана.
Классические работы К. Бендера и соавторов продемонстрировали, что замена условия самосопряжённости (Hermitian) на более слабое условие PT-симметрии открывает целые семейства комплексных гамильтонианов с действительным спектром и особыми фазовыми переходами, связанными с «разрушением» PT-симметрии. Эти результаты стали отправной точкой для бурного развития направления неэрмитовой квантовой механики и породили богатую задачу для строгой спектральной теории.
В докладе И.А. Тайманов системно обсуждались математические аспекты этой повестки: какие классы PT-симметричных операторов Шредингера обладают хорошими спектральными свойствами (действительный спектр, полнота системы собственных и присоединённых функций, устойчивость спектра при возмущениях), а где возникают фундаментальные ограничения и открытые проблемы.
Спектральная теория PT-симметричных операторов Шредингера: ключевые сюжеты
Опираясь на собственные результаты и результаты коллег в области спектральной теории и интегрируемых систем, докладчик рассмотрел «разумный для исследования» класс одномерных операторов Шредингера с PT-симметричными комплекснозначными потенциалами и выделил ряд центральных вопросов:
- Действительность спектра и режимы PT-симметрии.
Для широкого класса PT-симметричных гамильтонианов спектр может быть полностью действительным, однако при изменении параметров потенциала возникают фазовые переходы: часть собственных значений уходит в комплексную плоскость, PT-симметрия «разрушается», а физическая интерпретация спектра меняется. В фокусе обсуждения — условия, при которых можно гарантировать действительность спектра и описать границы областей стабильности. - Периодические потенциалы и зонная структура.
Особое внимание уделено периодическим PT-симметричным потенциалам, для которых спектр оператора имеет зонно-щелевую структуру. В этом контексте обсуждались результаты по анализу спектра PT-симметричных периодических операторов, включая совместные работы П.Г. Гриневича и И.А. Тайманова по возмущениям спектра одномерного PT-симметричного периодического оператора Шредингера. - Спектральность, базисность и полнота систем собственных функций.
Для неэрмитовых операторов ключевым является вопрос: образуют ли собственные и присоединённые функции базис (в подходящем смысле) и можно ли разворачивать по ним решения эволюционных задач. Доклад систематизировал известные результаты и ограничения для PT-симметричных систем, где традиционные теоремы спектральной теории самосопряжённых операторов не работают «из коробки». - Семиклассический анализ и асимптотика.
На примере PT-симметричных потенциалов типа «двойной ямы» и других семиклассических задач обсуждались методы асимптотического анализа, позволяющие описывать поведение собственных значений при малом параметре и отслеживать, как именно происходит переход от действительного спектра к комплексному. - Открытые задачи.
В заключение были обозначены математически содержательные открытые вопросы: от классификации классов потенциалов с «хорошей» спектральностью до условий устойчивости действительности спектра при нелокальных и случайных возмущениях.
По сути, доклад стал обзором фронтира спектральной теории для неэрмитовых, но структурно симметричных операторов, одновременно опирающимся на строгие методы математического анализа и мотивируемым задачами современной физики.
От квантовой механики к фотонике — PT-симметрия как язык сложных волн
Отдельный блок обсуждения был посвящён тому, как идеи PT-симметрии вышли за рамки абстрактной квантовой механики и стали рабочим инструментом в современной фотонике и теории волн.
За последние годы создано множество PT-симметричных оптических структур — волноводов, микрорезонаторов и фотонных кристаллов, в которых распределение усиления и потерь подбирается так, чтобы реализовать аналог PT-симметричного гамильтониана. Это позволило экспериментально наблюдать:
- появление и исчезновение мод при переходе через «исключительные точки» (exceptional points);
- однонаправленную прозрачность и нетривиальное управление потоками энергии;
- режимы особых лазеров и сенсоров, чувствительных к малым возмущениям.
Спектральная теория PT-симметричных операторов Шредингера в этой связи выступает как фундаментальный язык описания этих эффектов: свойства спектра (реальность, расположение, кратность, ветвления) напрямую связаны с наблюдаемыми физическими режимами в оптических и киберфизических системах.
Семинар «Время, хаос и математические проблемы» и роль ИМИСС МГУ
Семинар «Время, хаос и математические проблемы» — одна из ключевых площадок Московского университета, на которой под руководством ректора МГУ и директора ИМИСС МГУ академика В.А. Садовничего обсуждаются фундаментальные и прикладные задачи на стыке математики, физики, экономики, космических и социальных наук.
В разные годы в рамках семинара рассматривались:
- математическое моделирование динамики Земной системы;
- моделирование и прогнозирование управленческих мер по подавлению пандемии COVID-19 и восстановлению экономического роста;
- построение моделей искусственного интеллекта для анализа и прогнозирования социально-экономических кризисов и геополитических конфликтов;
- современные задачи динамики и управления сложными системами.
Доклад И.А. Тайманова органично продолжает эту линию: на сей раз в фокусе фундаментальная математическая физика и строгая спектральная теория неэрмитовых операторов, но методологически подход остаётся тем же — глубокий математический анализ как инструмент понимания сложных, нередко нестандартных систем.
Для ИМИСС МГУ, чья миссия состоит в развитии математических методов анализа сложных систем и их применении в задачах национального масштаба, такие семинары выполняют сразу несколько функций:
- поддерживают высокий уровень математической культуры в университетском сообществе;
- задают исследовательские ориентиры для молодых учёных и аспирантов;
- формируют повестку совместных проектов с институтами РАН и ведущими научными центрами страны.
Значение доклада для математического и физического сообщества
Доклад академика И.А. Тайманова важен сразу в нескольких измерениях:
- Фундаментальная математика.
Семинар зафиксировал текущую «карту местности» в спектральной теории PT-симметричных операторов, обозначив как уже полученные строгие результаты, так и открытые задачи, представляющие интерес для специалистов по дифференциальным уравнениям, математической физике и теории операторов. - Связь с современными физическими экспериментами.
Обсуждение PT-симметричных систем в контексте фотоники, волновых процессов и квантовых технологий показывает, что строгая математика здесь не отстаёт от эксперимента, а во многом опережает его, задавая язык описания будущих устройств и систем.( - Междисциплинарная рамка ИМИСС МГУ.
Включение тематики PT-симметрии в повестку семинара, традиционно объединяющего задачи динамики, хаоса, экономических и социальных процессов, подчёркивает широту методологического подхода Института: от фундаментальных операторных проблем до приложений в моделировании сложных технических и природных систем. - Образовательный эффект.
Для студентов и аспирантов механико-математического факультета и ИМИСС МГУ доклад становится живым примером того, как современные направления математической физики строятся на сочетании классических результатов спектральной теории, современной геометрии и запросов прикладной науки.
Справочно
- Семинар «О спектральной теории операторов Шредингера с PT-симметричными потенциалами» прошёл 26 ноября 2025 года в Зелёном зале Фундаментальной библиотеки МГУ в рамках научного семинара «Время, хаос и математические проблемы». Руководитель семинара — ректор МГУ, академик РАН В.А. Садовничий.
https://expert.msu.ru/haos25-11 - Докладчик: академик РАН Искандер Асанович Тайманов, заведующий кафедрой высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ, ведущий научный сотрудник Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
https://math.msu.ru/node/2360 - Обзорные материалы по PT-симметричной квантовой механике и её приложениям: работы C.M. Bender и соавторов по PT-симметричным гамильтонианам и действительному спектру, обзоры по PT-симметричной фотонике и неэрмитовой оптике.
https://arxiv.org/abs/physics/9712001