В Московском университете состоялся доклад профессора кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ, профессора РАН Елены Александровны Кудрявцевой на тему «Бифуркации периодических решений гамильтоновых систем».
Доклад был представлен в рамках ректорского спецсеминара «Спектральная теория дифференциальных операторов», который проводится под руководством ректора МГУ имени М.В. Ломоносова, академика РАН Виктора Антоновича Садовничего.
Рассматривались гамильтоновы динамические системы — фундаментальный класс моделей, описывающих консервативные процессы, с акцентом на бифуркации их периодических орбит. В таких системах периодические траектории (орбиты) обычно образуют семейства, зависящие от одного или нескольких параметров. При изменении параметров в этих семействах реализуются различные типы бифуркаций, то есть качественных перестроек динамики: гамильтонова бифуркация Хопфа, бифуркация удвоения периода, бифуркации рождения и уничтожения периодических решений и другие характерные сценарии.
Особое внимание было уделено связи этих явлений с бифуркациями, возникающими в интегрируемых гамильтоновых системах. В докладе представлена классификация так называемых «полуторических» бифуркаций, возникающих в интегрируемых системах с тремя степенями свободы. Показано, что полученный перечень охватывает все известные на сегодняшний день структурно устойчивые бифуркации интегрируемых систем с тремя степенями свободы, включая гамильтонову бифуркацию Хопфа, бифуркации удвоения периода и рождения/уничтожения периодических орбит, а также ряд более сложных конфигураций.
Тематика семинара и содержание доклада напрямую соотносятся с ключевыми научными направлениями Института математических исследований сложных систем (ИМИСС) МГУ. Название семинара, «Спектральная теория дифференциальных операторов», непосредственно перекликается с направлением ИМИСС «Математические основы анализа сложных систем», в рамках которого спектральная теория операторов и её приложения в динамических системах выделены как один из базовых блоков. Полученные результаты по классификации бифуркаций периодических решений органично дополняют этот фундаментальный раздел и расширяют инструментарий анализа сложной динамики.
Особую значимость для исследований сложных систем имеет подчеркнутое в докладе свойство структурной устойчивости рассматриваемых бифуркаций. Структурная устойчивость в данном контексте означает робастность — сохранение качественной картины динамики при малых возмущениях параметров и правых частей системы (в том числе «шумовых» воздействиях). Именно эта устойчивость объясняет универсальность соответствующих бифуркационных сценариев и их повторяющееся появление в широком классе произвольных (неинтегрируемых) гамильтоновых систем. Понимание таких устойчивых сценариев изменения динамики является важным аналитическим инструментом для прикладных направлений ИМИСС, включая «Биомедицинское моделирование и механорецепторную диагностику» и «Социально-экономическое моделирование и стратегические исследования», где модели по своей природе сложны, далеки от интегрируемости и неизбежно подвержены возмущениям, обусловленным реальными данными.
О докладчике
Елена Александровна Кудрявцева — доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, профессор Российской академии наук. Тема её докторской диссертации: «Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей». Область научных интересов Е.А. Кудрявцевой включает дифференциальную геометрию и топологию, теорию Морса и теорию особенностей, геометрию и топологию интегрируемых гамильтоновых систем, а также исследование топологических и симплектических инвариантов динамических систем.
Материалы
Подробный анонс выступления размещён на сайте «Эксперт МГУ»:
https://expert.msu.ru/stdo25-15
Видеозапись доклада доступна на платформе VK Видео:
https://vkvideo.ru/video-78019879_456241762?t=9s